5. а) Решите уравнение 27·81^sinx - 12·9^sinx + 1 = 0.

Решение:

1. Введём замену переменной: пусть \( t = 9^{\sin x} \). Так как \( \sin x \) принимает значения от \( -1 \) до \( 1 \), то \( 9^{-1} \le 9^{\sin x} \le 9^1 \), то есть \( \frac{1}{9} \le t \le 9 \).
2. Уравнение примет вид: \( 27 \cdot (9^{\sin x})^2 \cdot 9^{-1} - 12 \cdot 9^{\sin x} + 1 = 0 \).
3. Подставим \( t \): \( 27 \cdot \frac{t^2}{9} - 12t + 1 = 0 \).
4. Упростим: \( 3t^2 - 12t + 1 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение относительно \( t \): \( D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 144 - 12 = 132 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{132} = \sqrt{4 \cdot 33} = 2\sqrt{33} \).
6. Найдём значения \( t \): \( t_1 = \frac{12 + 2\sqrt{33}}{2 \cdot 3} = \frac{12 + 2\sqrt{33}}{6} = 2 + \frac{\sqrt{33}}{3} \), \( t_2 = \frac{12 - 2\sqrt{33}}{2 \cdot 3} = \frac{12 - 2\sqrt{33}}{6} = 2 - \frac{\sqrt{33}}{3} \).
7. Проверим, попадают ли значения \( t \) в диапазон \( [\frac{1}{9}; 9] \). \( \sqrt{33} \) примерно равно \( 5.74 \).
8. \( t_1 \approx 2 + \frac{5.74}{3} \approx 2 + 1.91 = 3.91 \). Это значение попадает в диапазон \( [\frac{1}{9}; 9] \).
9. \( t_2 \approx 2 - \frac{5.74}{3} \approx 2 - 1.91 = 0.09 \). \( \frac{1}{9} \approx 0.111 \). Так как \( t_2 < \frac{1}{9} \), это значение не подходит.
10. Вернёмся к замене: \( 9^{\sin x} = 2 + \frac{\sqrt{33}}{3} \).
11. Прологарифмируем обе части по основанию 9: \( \sin x = \log_9 \left( 2 + \frac{\sqrt{33}}{3} \right) \).
12. Обозначим \( C = \log_9 \left( 2 + \frac{\sqrt{33}}{3} \right) \). Так как \( 3.91 \) находится между \( 1 \) и \( 9 \), \( \log_9(3.91) \) находится между \( \log_9(1) = 0 \) и \( \log_9(9) = 1 \). Следовательно, \( 0 < C < 1 \).
13. Уравнение \( \sin x = C \), где \( 0 < C < 1 \), имеет решения.

Ответ: \( \sin x = \log_9 \left( 2 + \frac{\sqrt{33}}{3} \right) \).