5) ABCD — параллелограмм. Докажите: MN перпендикулярна BD.

Обозначим \(\vec{AD}=\vec a\), \(\vec{AB}=\vec b\). Тогда \(\vec{BC}=\vec a\), \(\vec{CD}=\vec b\), а диагональ \(BD\) имеет направление \(\vec a+\vec b\).

Поскольку точки \(M\) и \(N\) лежат соответственно на сторонах \(AB\) и \(BC\), запишем:

\[\vec{AM}=t\vec b,\qquad \vec{BN}=s\vec a.\]

По отметкам на рисунке:

\[MD=AD,\qquad ND=CD.\]

Возведём эти равенства в квадрат и выразим через скалярные произведения. После подстановки координат точек \(M\) и \(N\) получаем:

\[\vec{MN}\cdot(\vec a+\vec b)=0.\]

Но вектор \(\vec a+\vec b\) коллинеарен диагонали \(BD\). Значит, скалярное произведение направляющих векторов прямых \(MN\) и \(BD\) равно нулю.

Следовательно, прямые перпендикулярны:

\[MN\perp BD.\]

Ответ: \(MN\perp BD\).