5) ABCD — прямоугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Найдите углы α и β, если ∠ABO = 70°.

Так как ABCD — прямоугольник, ∠BCD = ∠CDA = 90°. В прямоугольном треугольнике BCD угол при B равен 90° − 70° = 20° (AB ∥ CD, поэтому угол между BD и CD равен ∠ABO).

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, значит BO = CO и треугольник BOC равнобедренный. Его углы при B и C равны по 20°, поэтому угол между диагоналями равен 180° − 20° − 20° = 140°. Смежный с ним угол AOB равен 40°.

В прямоугольном треугольнике AOB угол при A равен 90° − 70° = 20°. Следовательно, в треугольнике AOC угол при A между AC и AD равен 90° − 20° = 70°. Поскольку AC = BD и диагонали делятся пополам, AO = CO; треугольник AOC равнобедренный, поэтому угол при C между AC и CD равен 70°.

Тогда α — угол между AC и CD — равен 70°. Угол β дополняет до 90° угол между BD и CD, равный 20°, поэтому β = 70°.

Ответ: α = 70°, β = 70°.