5. АВ — общая касательная к двум касающимся окружностям радиусами 9 см и 16 см, А и В — точки касания (рис. 4). Найдите длину отрезка АВ.

Решение:

У нас есть две касающиеся окружности с радиусами r₁ = 9 см и r₂ = 16 см. АВ — их общая внешняя касательная. Нам нужно найти длину отрезка АВ.

Проведем радиусы в точки касания: O₁A ⊥ AB и O₂B ⊥ AB. O₁A = 9 см, O₂B = 16 см.

Проведем из центра меньшей окружности O₁ прямую, параллельную АВ, до пересечения с радиусом O₂B. Пусть точка пересечения будет С.

Тогда четырехугольник АВСO₁ является прямоугольником (так как O₁A || CB, AB || O₁C, и все углы прямые). Следовательно, AB = O₁C и O₁A = CB = 9 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник O₁CO₂. Его гипотенуза O₁O₂ равна сумме радиусов, так как окружности касаются внешне: O₁O₂ = r₁ + r₂ = 9 + 16 = 25 см.

Катет O₂C равен разности радиусов:

• O₂C = O₂B - CB
• O₂C = r₂ - r₁
• O₂C = 16 см - 9 см
• O₂C = 7 см

По теореме Пифагора для треугольника O₁CO₂:

• O₁C² + O₂C² = O₁O₂²
• AB² + 7² = 25²
• AB² + 49 = 625
• AB² = 625 - 49
• AB² = 576
• AB = √576
• AB = 24 см

Ответ:

Ответ: 24 см