5. (B.43, p. 5) Find the intervals where the function is decreasing f(x) = -8x³ + 7x²-5.

Решение:

Чтобы найти промежутки убывания функции, нужно определить, где её производная отрицательна.

1. Найдем производную функции \( f(x) = -8x^3 + 7x^2 - 5 \):
   \( f'(x) = (-8x^3 + 7x^2 - 5)' = -24x^2 + 14x \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( -24x^2 + 14x = 0 \)
   \( 2x(-12x + 7) = 0 \)
   Отсюда, \( 2x = 0 \) или \( -12x + 7 = 0 \>.
   \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = \frac{7}{12} \).
3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками: \( (-\infty, 0) \), \( (0, \frac{7}{12}) \), \( (\frac{7}{12}, \infty) \).
4. Возьмём тестовую точку из интервала \( (-\infty, 0) \), например, \( x = -1 \):
   \( f'(-1) = -24(-1)^2 + 14(-1) = -24 - 14 = -38 < 0 \). Функция убывает.
5. Возьмём тестовую точку из интервала \( (0, \frac{7}{12}) \), например, \( x = 0.5 \) (или \( \frac{6}{12} \)):
   \( f'(0.5) = -24(0.5)^2 + 14(0.5) = -24(0.25) + 7 = -6 + 7 = 1 > 0 \). Функция возрастает.
6. Возьмём тестовую точку из интервала \( (\frac{7}{12}, \infty) \), например, \( x = 1 \):
   \( f'(1) = -24(1)^2 + 14(1) = -24 + 14 = -10 < 0 \). Функция убывает.

Функция убывает на интервалах, где её производная отрицательна.

Ответ: Функция убывает на промежутках \( (-\infty, 0] \) и \( [\frac{7}{12}, \infty) \).