5. Белка и Рыжик по очереди берут орехи из кучки. За один раз можно взять больше половины оставшихся орехов. Орехи берут целиком, на части делить их нельзя. Тот, кто может взять последним, выигрывает. Первым берет Рыжик. Кто из них может играть при любых действиях другого, если сначала в куче было 40 орехов? Напишите, должен ли действовать победитель.

Рассмотрим количество орехов после хода игрока.

Если останется 2 ореха, следующий игрок может взять 2 ореха, потому что 2 больше половины от 2. Поэтому при 2 орехах выигрывает тот, кто ходит.

Если останется 3 ореха, можно взять 2 или 3 ореха. Значит, игрок может оставить сопернику 1 орех и забрать последний орех следующим ходом.

При 4 орехах можно взять 3 или 4 ореха, поэтому также выигрывает тот, кто ходит.

При 5 орехах можно взять 3, 4 или 5 орехов. Игрок может оставить сопернику 2 ореха, а затем забрать их.

Продолжая рассуждение, видим: при любом количестве от 2 до 40 игрок, который ходит, может оставить сопернику такое количество орехов, при котором тот не сможет обеспечить себе победу.

В начале в куче 40 орехов, первым ходит Рыжик. Он должен взять 21 орех: это больше половины от 40, а останется \(40-21=19\) орехов. Далее Рыжик после каждого хода Белки может брать столько орехов, чтобы оставить ей проигрышное количество.

Ответ: победить при любых действиях соперника может Рыжик. Сначала он должен взять 21 орех.