5) Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BC = 2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1.

Данных недостаточно: периметр не определяется однозначно.

Пусть AB = x, а угол A равен α. Поскольку K лежит на биссектрисе угла B, расстояния от K до прямых AB и BC равны. Следовательно, расстояние от K до BC тоже равно 1.

Для проверки зависимости обозначим через θ угол между AB и AD. В координатах A = (0, 0), B = (x, 0), D = (2 cos θ, 2 sin θ) точка пересечения биссектрис углов A и B имеет высоту над AB, равную x sin(θ/2). Поэтому условие о расстоянии означает x sin(θ/2) = 1. При разных допустимых значениях θ получается разная длина AB = 1/sin(θ/2), а значит, и разный периметр P = 2(AB + BC) = 2(1/sin(θ/2) + 2).

Например, при θ = 90° получается AB = √2 и P = 4 + 2√2; при θ = 60° получается AB = 2 и P = 8. Оба случая удовлетворяют данным задачи.

Ответ: периметр однозначно найти нельзя; необходимо дополнительное условие.