5. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 11.

Обозначим длину стороны AD через x. Расстояние от точки M до прямой AD равно расстоянию между параллельными прямыми AD и BC. Рассмотрим треугольник ABM: поскольку M лежит на биссектрисе угла A, расстояния от M до сторон AB и AD равны. Значит, расстояние между AD и BC равно расстоянию от M до AB.

Так как DM — биссектриса угла D, расстояния от M до сторон DA и DC также равны. Следовательно, расстояние от M до DC равно расстоянию между AD и BC. Стороны AB и DC параллельны, поэтому расстояние от M до AB равно расстоянию между AB и DC. Эти расстояния одинаковы, откуда следует, что противоположные стороны параллелограмма равны между собой и здесь длины AB и AD совпадают: AD = AB = 11.

Тогда периметр равен P = 2(AB + AD) = 2(11 + 11) = 44.

Ответ: 44.