5. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10√2 см и образует с основанием угол 45°. Найдите площадь трапеции, если в неё можно вписать окружность.

Краткое пояснение:

Дано:

• Равнобокая трапеция ABCD
• Боковая сторона AB = CD = \(10\sqrt{2}\) см
• Угол при основании \( \angle A = \angle D = 45^{\circ} \)
• В трапецию вписана окружность

Найти:

• Площадь трапеции S - ?

Решение:

1. Свойства трапеции с вписанной окружностью: В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Для равнобокой трапеции это означает \( a + b = 2c \), где \( a \) и \( b \) - основания, \( c \) - боковая сторона.
2. Находим высоту трапеции (h): Проведем высоту из вершины \( B \) к основанию \( AD \), обозначим точку пересечения \( E \). В прямоугольном треугольнике \( ABE \) имеем \( ABE = 45^{\circ} \) и \( AB = 10\sqrt{2} \) см. Используя синус угла:
   \( h = BE = AB ⋅ A \)
   \( h = 10\sqrt{2} ⋅ 45^{\circ} = 10\sqrt{2} ⋅ \frac{\sqrt{2}}{2} = 10 ⋅ \frac{2}{2} = 10 \) см.
3. Находим основание AD: В прямоугольном треугольнике \( ABE \) отрезок \( AE \) равен:
   \( AE = AB ⋅ A \)
   \( AE = 10\sqrt{2} ⋅ \u000245^{\circ} = 10\sqrt{2} ⋅ \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \sqrt{2} ⋅ \sqrt{2} = 5 ⋅ 2 = 10 \) см.
4. Находим основание BC: Аналогично \( BCD \), отрезок \( CD' \) (где \( D' \) - проекция \( C \) на \( AD \)) равен 10 см.
   \( AD = AE + ED' + D'D = 10 + 10 + 10 = 30 \) см.
5. Находим основание BC: В равнобокой трапеции \( BC = AD - 2 AE = 30 - 2 10 = 30 - 20 = 10 \) см.
6. Находим среднюю линию (m): Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
   \( m = rac{a + b}{2} = rac{AD + BC}{2} = rac{30 + 10}{2} = rac{40}{2} = 20 \) см.
7. Находим площадь трапеции (S): Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту:
   \( S = m ⋅ h \)
   \( S = 20 ⋅ 10 = 200 \) см².

Ответ: 200 см²