5. Через точку пересечения диагоналей квадрата проведена прямая, взаимно перпендикулярная прямые. Докажите, что точка пересечения этих прямых со сторонами квадрата является вершинами ещё одного квадрата.

В условии видна грамматическая или печатная неполнота: после слов «взаимно перпендикулярная» не указано, какой прямой она перпендикулярна; также не вполне ясна формулировка о прямых и точках пересечения. Вероятный смысл — через центр квадрата проводят две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающие его стороны. Рассмотрим эту трактовку.

Обозначим исходный квадрат ABCD, его центр O, а точки пересечения двух прямых со сторонами квадрата — P, Q, R, S, перечисленные вокруг квадрата. Прямые проходят через O и перпендикулярны друг другу.

1. Поворот на 90° вокруг O переводит квадрат в себя и одну из проведённых прямых — в другую.
2. Поэтому точки пересечения P, Q, R, S переходят друг в друга при последовательных поворотах на 90°. Значит, OP = OQ = OR = OS, а углы между соседними лучами равны 90°.
3. В четырёхугольнике PQRS диагонали PR и QS проходят через O, равны (каждая равна удвоенному радиусу описанной окружности квадрата) и перпендикулярны. Их середина — O.
4. Четырёхугольник, диагонали которого делятся пополам, является параллелограммом. Параллелограмм с равными перпендикулярными диагоналями — квадрат.

Следовательно, точки пересечения являются вершинами ещё одного квадрата.

Если в оригинале после слова «перпендикулярная» указана конкретная прямая либо условие имеет иной вид, пришлите полный снимок задания: для строгого доказательства нужно точно знать это условие.