5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что $$\angle BDC = 84^\circ$$, $$\angle BDA=24^\circ$$ и $$\angle DBC=32^\circ$$. Найти углы четырёхугольника.

Разбор:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Это значит, что сумма противоположных углов равна 180°.

Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Решение:

1. Найдем $$\angle ADC$$:
   $$\angle ADC = \angle ADB + \angle BDC$$
   $$\angle ADC = 24^\circ + 84^\circ = 108^\circ$$
2. Найдем $$\angle ABC$$:
   Четырёхугольник вписан, значит, сумма противоположных углов равна 180°.
   $$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$$
   $$\angle ABC = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$
3. Найдем $$\angle BAC$$:
   Угол $$\angle BAC$$ и угол $$\angle BDC$$ опираются на одну дугу BC, значит, равны.
   $$\angle BAC = \angle BDC = 84^\circ$$.
4. Найдем $$\angle BCA$$:
   Угол $$\angle BCA$$ и угол $$\angle BDA$$ опираются на одну дугу AB, значит, равны.
   $$\angle BCA = \angle BDA = 24^\circ$$.
5. Найдем $$\angle CAD$$:
   $$\angle CAD = \angle CBD = 32^\circ$$ (опираются на дугу CD).
6. Найдем $$\angle ACD$$:
   $$\angle ACD = \angle ABD$$. Сначала найдем $$\angle ABD$$.
   В треугольнике BCD:
   $$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = \angle BCA + \angle ABD = 24^\circ + \angle ABD$$
   $$\angle BDC = 84^\circ$$, $$\angle DBC = 32^\circ$$.
   Сумма углов в $$\triangle BCD$$: $$\angle BDC + \angle DBC + \angle BCD = 180^\circ$$.
   $$84^\circ + 32^\circ + \angle BCD = 180^\circ$$.
   $$\angle BCD = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$$.
   Значит, $$\angle BCA + \angle ACD = 64^\circ$$.
   $$24^\circ + \angle ACD = 64^\circ$$.
   $$\angle ACD = 40^\circ$$.
7. Найдем $$\angle ABD$$:
   $$\angle ABD = \angle ACD = 40^\circ$$ (опираются на дугу AD).
8. Проверка:
   $$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 40^\circ + 32^\circ = 72^\circ$$. (Совпадает с найденным ранее).
   $$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 24^\circ + 40^\circ = 64^\circ$$.
   $$\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 32^\circ + 84^\circ = 116^\circ$$.
   $$\angle CDA = \angle CDB + \angle BDA = 84^\circ + 24^\circ = 108^\circ$$.
   Сумма углов четырёхугольника: $$72^\circ + 64^\circ + 116^\circ + 108^\circ = 360^\circ$$.
9. Проверка вписанного четырёхугольника:
   $$\angle ABC + \angle ADC = 72^\circ + 108^\circ = 180^\circ$$.
   $$\angle BCD + \angle DAB = 64^\circ + 116^\circ = 180^\circ$$.

Ответ: $$\angle A = 116^\circ$$, $$\angle B = 72^\circ$$, $$\angle C = 64^\circ$$, $$\angle D = 108^\circ$$