5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 28°, ∠ABD = 36°. Найти углы четырёхугольника.

Решение:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

• Угол CAD опирается на дугу CD, как и угол CBD. Следовательно, \( \angle CAD = \angle CBD = 28° \).
• Угол BAC опирается на дугу BC, как и угол BDC. Следовательно, \( \angle BDC = \angle BAC = 36° \).
• Угол ACD опирается на дугу AD, как и угол ABD. Следовательно, \( \angle ACD = \angle ABD = 36° \).
• Угол ADB опирается на дугу AB, как и угол ACB. Нам неизвестен угол ACB, но мы можем найти другие углы.

Найдем углы четырёхугольника:

• Угол A:\[ \angle A = \angle CAD + \angle BAC = 28° + 36° = 64° \]
• Угол B:\[ \angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 36° + 28° = 64° \]
• Угол C:\[ \angle C = \angle ACB + \angle ACD \]

Чтобы найти \( \angle ACB \), рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

Найдем \( \angle BCD \) и \( \angle CDB \).

Угол D:\[ \angle D = \angle ADB + \angle BDC \]

Недостающая информация: Для полного решения задачи необходимо найти \( \angle ACB \) и \( \angle ADB \). По данным углам \( \angle DBC = 28° \) и \( \angle ABD = 36° \) мы нашли \( \angle A = 64° \) и \( \angle B = 64° \).

Для вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна 180°. Значит:

• \[ \angle C = 180° - \angle A = 180° - 64° = 116° \]
• \[ \angle D = 180° - \angle B = 180° - 64° = 116° \]

Проверим, соответствуют ли эти углы найденным ранее:

\( \angle A = \angle CAD + \angle BAC = 28° + 36° = 64° \). Верно.

\( \angle B = \angle ABD + \angle DBC = 36° + 28° = 64° \). Верно.

Теперь нам нужно найти \( \angle C \) и \( \angle D \) более точно, используя вписанные углы.

\( \angle C = \angle ACB + \angle ACD \). Мы знаем \( \angle ACD = 36° \). Нам нужно найти \( \angle ACB \).

\( \angle D = \angle ADB + \angle BDC \). Мы знаем \( \angle BDC = 36° \). Нам нужно найти \( \angle ADB \).

Рассмотрим дуги:

• Дуга CD соответствует \( \angle CBD = 28° \), значит, центральный угол \( \angle COD = 2 imes 28° = 56° \).
• Дуга BD соответствует \( \angle BAD = 64° \), значит, \( \angle BOD = 2 imes 64° = 128° \).
• Дуга BC соответствует \( \angle BAC = 36° \), значит, \( \angle BOC = 2 imes 36° = 72° \).
• Дуга AB соответствует \( \angle ADB \), значит, \( \angle AOB = 2 imes \angle ADB \).

Важно: \( \angle ABD = 36° \) и \( \angle DBC = 28° \) - это части угла \( \angle ABC \).

Вернемся к углам четырёхугольника:

• \[ \angle A = \angle BAC + \angle CAD = 36° + 28° = 64° \]
• \[ \angle B = \angle ABD + \angle DBC = 36° + 28° = 64° \]
• \[ \angle C = 180° - \angle A = 180° - 64° = 116° \]
• \[ \angle D = 180° - \angle B = 180° - 64° = 116° \]

Теперь проверим, соответствуют ли эти значения углам, образованным диагоналями.

Угол C: \( \angle C = \angle ACB + \angle ACD \). Мы знаем \( \angle ACD = 36° \). Чтобы найти \( \angle ACB \), мы должны рассмотреть дугу AB. \( \angle ACB \) опирается на дугу AB. \( \angle ADB \) тоже опирается на дугу AB. Значит, \( \angle ACB = \angle ADB \). Нам нужно найти \( \angle ADB \).

Угол D: \( \angle D = \angle ADB + \angle BDC \). Мы знаем \( \angle BDC = 36° \). Нам нужно найти \( \angle ADB \).

Рассмотрим треугольник ABD: Сумма углов равна 180°. \( \angle BAD = 64° \) (как \( \angle BAC + \angle CAD \) = 36° + 28° = 64°). \( \angle ABD = 36° \).

\[ \angle ADB = 180° - \angle BAD - \angle ABD = 180° - 64° - 36° = 180° - 100° = 80° \]

Теперь мы можем найти все углы:

• \[ \angle A = 64° \]
• \[ \angle B = 64° \]
• \[ \angle C = 180° - \angle A = 116° \]
• \[ \angle D = 180° - \angle B = 116° \]

Проверим углы C и D, используя вписанные углы:

• \[ \angle C = \angle ACB + \angle ACD \]. \( \angle ACB \) опирается на дугу AB. \( \angle ADB = 80° \) тоже опирается на дугу AB. Значит, \( \angle ACB = 80° \).
• \[ \angle C = 80° + 36° = 116° \]. Верно.
• \[ \angle D = \angle ADB + \angle BDC \]. Мы нашли \( \angle ADB = 80° \). \( \angle BDC = 36° \) (опирается на дугу BC, как и \( \angle BAC = 36° \)).
• \[ \angle D = 80° + 36° = 116° \]. Верно.

Ответ: ∠A = 64°, ∠B = 64°, ∠C = 116°, ∠D = 116°