5. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Известно, что 4 BDC = 84°, 1BDA=24° и < DBC=32°. Найти углы четырёхугольника.

Привет! Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам дан четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность. Это значит, что все его вершины лежат на окружности.

Дано:

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.
• \[ \angle BDC = 84^{\circ} \]
• \[ \angle BDA = 24^{\circ} \]
• \[ \angle DBC = 32^{\circ} \]

Найти: Углы четырёхугольника (

Решение:

1. Находим углы, опирающиеся на дуги:
• \[ \angle BAC = \angle BDC = 84^{\circ} \]
• (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу BC).
• \[ \angle CAD = \angle CBD = 32^{\circ} \]
• (вписанные углы, опирающиеся на дугу CD).
• \[ \angle BCA = \angle BDA = 24^{\circ} \]
• (вписанные углы, опирающиеся на дугу AB).
• \[ \angle ACD = \angle ABD \]
• (вписанные углы, опирающиеся на дугу AD).
2. Находим угол ABD:
• В треугольнике BCD:
• \[ \angle BCD = 180^{\circ} - \angle BDC - \angle CBD = 180^{\circ} - 84^{\circ} - 32^{\circ} = 180^{\circ} - 116^{\circ} = 64^{\circ} \]
• \[ \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \]
• \[ 64^{\circ} = 24^{\circ} + \angle ACD \]
• \[ \angle ACD = 64^{\circ} - 24^{\circ} = 40^{\circ} \]
• Значит,
• \[ \angle ABD = \angle ACD = 40^{\circ} \]
3. Теперь находим полные углы четырёхугольника:
• \[ \angle A = \angle BAC + \angle CAD = 84^{\circ} + 32^{\circ} = 116^{\circ} \]
• \[ \angle B = \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 40^{\circ} + 32^{\circ} = 72^{\circ} \]
• \[ \angle C = \angle BCD = 64^{\circ} \]
• \[ \angle D = \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 24^{\circ} + 84^{\circ} = 108^{\circ} \]
4. Проверка: Сумма углов четырёхугольника должна быть 360°.
5. \[ 116^{\circ} + 72^{\circ} + 64^{\circ} + 108^{\circ} = 360^{\circ} \]

Ответ:

• \[ \angle A = 116^{\circ} \]
• \[ \angle B = 72^{\circ} \]
• \[ \angle C = 64^{\circ} \]
• \[ \angle D = 108^{\circ} \]