5. Числа x и y таковы, что (3x + 10y) кратно 13. Докажите, что (3x + 10y)(3y + 10x) кратно 169.

По условию

\[3x+10y\equiv0\pmod{13}.\]

Так как \(10\equiv-3\pmod{13}\), получаем:

\[3x-3y\equiv0\pmod{13}.\]

Число 3 взаимно просто с 13, поэтому можно сократить на 3:

\[x-y\equiv0\pmod{13},\qquad x\equiv y\pmod{13}.\]

Тогда

\[3y+10x\equiv3y-3x=3(y-x)\equiv0\pmod{13}.\]

Оба множителя делятся на 13. Значит, их произведение делится на \(13\cdot13=169\):

\[ (3x+10y)(3y+10x)\equiv0 emod{169}. \]

Ответ: \((3x+10y)(3y+10x)\(\text{ кратно }\)169.