5. Данила называет число прекрасным, если все пары соседних цифр в его записи отличаются хотя бы на 4. Василиса написала прекрасное число, а потом заменила одинаковые его цифры на одинаковые буквы, а разные на разные. Могло ли у неё получиться ГИМНСТОЛЕТИЯ?

Решение:

Число, которое написала Василиса, состоит из 10 цифр. Если одинаковые цифры заменены одинаковыми буквами, а разные — разными, то каждая буква в слове ГИМНСТОЛЕТИЯ соответствует одной цифре.

Слово ГИМНСТОЛЕТИЯ состоит из 10 букв, и все буквы в нём разные. Это значит, что число, которое написала Василиса, также состояло из 10 различных цифр.

Однако, чтобы число было прекрасным, разница между соседними цифрами должна быть не менее 4. Рассмотрим возможные наборы из 10 различных цифр:

• Набор из 10 различных цифр — это все цифры от 0 до 9: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
• Попробуем упорядочить эти цифры так, чтобы разница между соседними была не менее 4.
• Например, начнем с наименьшей цифры 0. Следующая цифра должна быть 4 или больше. Пусть это будет 4.
• 0, 4, ...
• Следующая цифра после 4 должна быть 8 или больше. Пусть это будет 8.
• 0, 4, 8, ...
• Теперь у нас остались цифры {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}. Следующая цифра после 8 может быть только 9 (если мы используем оставшиеся цифры).
• 0, 4, 8, 9, ...
• После 9 нет цифр, которые бы отличались от нее на 4 или больше.
• Попробуем другой порядок, например, начнем с 9:
• 9, 5, 1, ...
• После 1 остается {0, 2, 3, 4, 6, 7, 8}. Следующая цифра должна быть 5 или больше. У нас есть 5, но она уже использована. Следующая доступная цифра, которая больше 1 на 4 или более, — это 6 (1+4=5, 6>5).
• 9, 5, 1, 6, ...
• После 6 остается {0, 2, 3, 4, 7, 8}. Следующая цифра должна быть 10 или больше (6+4=10), но у нас нет такой цифры.
• Давайте перечислим все возможные пары цифр с разницей >= 4: (0,4), (0,5), (0,6), (0,7), (0,8), (0,9); (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9); (2,6), (2,7), (2,8), (2,9); (3,7), (3,8), (3,9); (4,8), (4,9); (5,9).
• Построим граф, где вершины — цифры, а рёбра — допустимые переходы. Мы ищем Гамильтонов путь в этом графе.
• Граф имеет следующие рёбра: 0-4, 0-5, ..., 5-9.
• Рассмотрим последовательность 9-5-1. После 1 мы можем пойти к 5 (использовано) или 6, 7, 8, 9. Если идем к 6: 9-5-1-6. После 6 мы можем пойти к 10 (нет) или 0, 2, 3, 4, 7, 8. Следующая цифра из {0, 2, 3, 4, 7, 8}. Если 9-5-1-6-2. После 2: 6, 7, 8, 9. У нас остались {0, 3, 4, 7, 8}. Пусть 7. 9-5-1-6-2-7. После 7: 0, 1, 2, 3 (использованы) 4 (нет).
• Самая длинная такая последовательность из различных цифр, которую можно построить, используя цифры от 0 до 9, не может содержать 10 различных цифр.
• Например, если мы возьмем наименьшее возможное количество цифр, которое можно использовать для достижения разницы в 4, это будут 0 и 4. Если взять 0, 4, 8, то мы использовали 3 цифры.
• Если взять 0, 4, 8, 9. 4 цифры.
• Если взять 1, 5, 9. 3 цифры.
• Если взять 0, 5, 9. 3 цифры.
• Попробуем составить цепочку: 0-4-8. Остались: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9. После 8 можно только 9. 0-4-8-9. Используем 4 цифры.
• Другая цепочка: 9-5-1. Остались: 0, 2, 3, 4, 6, 7, 8. После 1 можно 6, 7, 8. 9-5-1-6. Остались: 0, 2, 3, 4, 7, 8. После 6 можно 0, 2, 3, 4, 7, 8. Возьмем 2. 9-5-1-6-2. Остались: 0, 3, 4, 7, 8. После 2 можно 6, 7, 8, 9. Возьмем 7. 9-5-1-6-2-7. Остались: 0, 3, 4, 8. После 7 можно 0, 1, 2, 3. Возьмем 3. 9-5-1-6-2-7-3. Остались: 0, 4, 8. После 3 можно 7, 8, 9. Возьмем 8. 9-5-1-6-2-7-3-8. Остались: 0, 4. После 8 можно 0, 1, 2, 3, 4. Возьмем 4. 9-5-1-6-2-7-3-8-4. Остались: 0. После 4 можно 8, 9. Нет подходящих.
• Нет такой последовательности из 10 различных цифр, удовлетворяющей условию. Максимальная такая последовательность из 10 цифр (0-9) невозможна.
• Например, максимальная длина последовательности при условии разницы >= 4: 0-4-8-9 (4 цифры), 1-5-9 (3 цифры), 2-6 (2 цифры), 3-7 (2 цифры), 4-8 (2 цифры).
• Если мы возьмем все цифры от 0 до 9, то невозможно построить последовательность из 10 цифр, где разница между соседними >= 4.
• Например, вот одна из самых длинных последовательностей, которую можно построить из 10 различных цифр: 9, 5, 1. Далее от 1 мы можем перейти к 6, 7, 8. Возьмем 6: 9, 5, 1, 6. От 6 можем перейти к 0, 2, 3, 4, 7, 8. Возьмем 2: 9, 5, 1, 6, 2. От 2 можем перейти к 6, 7, 8, 9. Возьмем 7: 9, 5, 1, 6, 2, 7. От 7 можем перейти к 0, 1, 2, 3. Возьмем 3: 9, 5, 1, 6, 2, 7, 3. От 3 можем перейти к 7, 8, 9. Возьмем 8: 9, 5, 1, 6, 2, 7, 3, 8. От 8 можем перейти к 0, 4. Возьмем 4: 9, 5, 1, 6, 2, 7, 3, 8, 4. Осталась цифра 0. От 4 можем перейти к 8, 9. Нет.
• Таким образом, невозможно построить последовательность из 10 различных цифр, где каждая следующая цифра отличается от предыдущей минимум на 4.

Ответ: Нет, не могло.