5. Дано: ABCD — параллелограмм, AB ∩ α = M, CD ∩ α = N, AD ∥ α. Докажите, что AD ∥ MN.

Обозначим плоскость параллелограмма ABCD через β. Точки M и N принадлежат одновременно плоскостям α и β, поэтому прямая MN является линией пересечения этих плоскостей.

1. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны, поэтому AB ∥ CD.
2. Прямая AD лежит в плоскости β и по условию параллельна плоскости α: AD ∥ α.
3. Линия пересечения плоскостей α и β — это MN. Если прямая, лежащая в плоскости β, параллельна плоскости α, то она параллельна линии пересечения этих плоскостей.
4. Следовательно, AD ∥ MN.

Ответ: AD ∥ MN.