5. Дано: ABCD — ромб, O — точка пересечения диагоналей, BO = 5. Угол 1 меньше угла 2 на 30°. Найти: AB, S_{ABCD}.

Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому треугольник AOB прямоугольный: \(\angle AOB=90^\circ\).

Пусть \(\angle 1=\alpha\), тогда \(\angle 2=\alpha+30^\circ\). Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\), получаем:

\(\alpha+(\alpha+30^\circ)=90^\circ\),

\(2\alpha=60^\circ\), \(\alpha=30^\circ\), \(\angle 2=60^\circ\).

В треугольнике AOB сторона \(BO=5\) лежит напротив угла \(30^\circ\), поэтому гипотенуза \(AB=2\cdot BO=10\).

Найдём вторую половину диагонали:

\(AO=BO\sqrt3=5\sqrt3\).

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

\(S_{ABCD}=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot(2AO)\cdot(2BO)=2\cdot AO\cdot BO\).

\(S_{ABCD}=2\cdot5\sqrt3\cdot5=50\sqrt3\).

Ответ: \(AB=10\), \(S_{ABCD}=50\sqrt3\).