№ 5. Дано: ∠CBD в \(\frac{2}{3}\) раза меньше ∠ABD. Найдите все углы.

Углы \(\angle CBD\) и \(\angle ABD\) — смежные, поэтому их сумма равна \(180^\circ\).

Обозначим \(\angle ABD\) через \(x\). Тогда \(\angle CBD=\frac{2}{3}x\).

Составим уравнение:

\(x+\frac{2}{3}x=180^\circ\).

\(\frac{5}{3}x=180^\circ\), откуда \(x=108^\circ\).

Тогда \(\angle CBD=\frac{2}{3}\cdot108^\circ=72^\circ\).

Вертикальные углы равны, поэтому:

• \(\angle ABE=\angle CBD=72^\circ\);
• \(\angle CBE=\angle ABD=108^\circ\).

Ответ: ∠ABD = 108°, ∠CBD = 72°, ∠ABE = 72°, ∠CBE = 108°.