5. Дано: MK : PK = 2 : 3, MN = 20. Найти: MP.

Так как MN — касательная, а MKP — секущая, применяем теорему о степени точки:

\(MN^2 = MK \cdot MP\).

Пусть \(MK = 2x\), тогда \(PK = 3x\), а \(MP = MK + PK = 5x\).

Подставим значения:

\[20^2 = 2x \cdot 5x\]

\[400 = 10x^2,\qquad x^2 = 40,\qquad x = 2\sqrt{10}.\]

Тогда:

\[MP = 5x = 10\sqrt{10}.\]

Ответ: \(MP = 10\sqrt{10}\).