5. Дано: O — середина AB, ∠1 = ∠2. Доказать: ∠D = ∠C.

По рисунку отмеченные углы при O — вертикальные, поэтому они равны. Но равенства AO = OB и углов при O недостаточно, чтобы заключить, что ∠D = ∠C: для этого не задано соотношение между OC и OD.

Контрпример: возьмём O(0; 0), A(−1; 0), B(1; 0), C(−1; 2), D(2; −4). Тогда O — середина AB, точки C, O, D лежат на одной прямой, а отмеченные углы при O равны. Однако ∠C ≈ 26,6°, а ∠D ≈ 12,1°.

Вывод: по указанным данным доказать ∠D = ∠C нельзя. Например, равенство OC = OD было бы дополнительным условием, позволяющим доказать это равенство по равенству треугольников.