5. Дано: \(\triangle PKF, \angle K = 90^{\circ}, \angle P = 150^{\circ},\) \( KC \perp PE, KE = 10 \) Найти: \( CE, CP \)

Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( PKF \) с \( \angle K = 90^{\circ} \). Угол \( \angle P = 150^{\circ} \) указан некорректно, так как в треугольнике не может быть угол больше 180 градусов, и для прямоугольного треугольника сумма углов равна 180, значит \( \angle P + \angle F = 90^{\circ} \). Предполагая, что \( \angle P \) относится к внешнему углу при вершине \( P \) на рисунке, то внутренний угол \( \angle P \) равен \( 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle PKF \): \( \angle P = 30^{\circ} \), \( \angle K = 90^{\circ} \). Тогда \( \angle F = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

На рисунке \( KC \perp PE \). Это значит, что \( KC \) — высота, проведённая из вершины \( K \) к стороне \( PE \).

Рассмотрим \( \triangle KCE \). \( \angle KCE = 90^{\circ} \). \( \angle E = \angle F = 60^{\circ} \) (как углы прямоугольного \( \triangle PKF \)).

В \( \triangle KCE \):

\( \angle CKE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Из \( \triangle KCE \), зная \( KE = 10 \) (гипотенуза) и \( \angle E = 60^{\circ} \):

\( CE = KE \cdot \cos(60^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \).

\( KC = KE \cdot \sin(60^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \).

Теперь рассмотрим \( \triangle PKC \). \( \angle KCP = 90^{\circ} \).

\( \angle P = 30^{\circ} \).

В \( \triangle PKC \), зная \( KC = 5\sqrt{3} \) и \( \angle P = 30^{\circ} \):

\( CP = \frac{KC}{\tan(30^{\circ})} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 5 \cdot 3 = 15 \).

Ответ: \( CE = 5 \), \( CP = 15 \).