5. Даны два угла AOB и COD с общей вершиной. Стороны одного угла перпендикулярны к сторонам другого (рис. 99). Найдите эти углы, если разность между ними равна прямому углу. Углы AOB и BOC смежные, OM — биссектриса угла AOB, луч ON принадлежит внутренней области угла BOC и перпендикулярен OM. Является ли ON биссектрисой угла BOC? Почему?

а) Пусть больший угол равен \(x\), а меньший — \(y\). Так как стороны этих углов соответственно перпендикулярны, углы равны или в сумме составляют \(180^\circ\). Их разность равна \(90^\circ\), поэтому они не могут быть равны; значит, они дополнительные.

Составим систему: \(x+y=180^\circ\), \(x-y=90^\circ\). Складывая уравнения, получаем \(2x=270^\circ\), откуда \(x=135^\circ\). Тогда \(y=180^\circ-135^\circ=45^\circ\).

Ответ: углы равны \(135^\circ\) и \(45^\circ\).

б) Обозначим \(\angle AOB=\alpha\). Поскольку OM — биссектриса, \(\angle MOB=\frac{\alpha}{2}\). Углы AOB и BOC смежные, поэтому \(\angle BOC=180^\circ-\alpha\).

Так как \(ON\perp OM\), угол MON равен \(90^\circ\). Лучи OB и ON лежат внутри этого прямого угла, поэтому \(\angle BON=90^\circ-\frac{\alpha}{2}\). При этом \(\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{180^\circ-\alpha}{2}=90^\circ-\frac{\alpha}{2}\). Следовательно, \(\angle BON=\angle NOC\), и ON — биссектриса угла BOC.