5. Даны две окружности с общим центром О, ВС и DE — их диаметры. Укажите верные утверждения.

Решение:

Рассмотрим два утверждения:

1. 1) ΔDOC — равнобедренный
   Обоснование: OD и OC являются радиусами окружности. Так как радиусы равны, треугольник DOC равнобедренный.
2. 2) ΔBOE — прямоугольный
   Обоснование: BC и DE — диаметры, проходящие через центр O. Угол ∠BOE является вертикальным углом к углу ∠DOC. Если ∠DOC не равен 90°, то ΔBOE не является прямоугольным. Например, если ∠MOP = 132° (как в задаче 4), то ∠DOC = 180° - 132° = 48°, и, следовательно, ∠BOE = 48°. Треугольник не прямоугольный.
3. 3) ΔBOE = ΔCOD по трем сторонам
   Обоснование: OB = OC = OD = OE (все — радиусы). Стороны BO и EO равны сторонам DO и CO соответственно. Сторона OE равна стороне DO (радиусы). Также, OB = OC (радиусы). Стороны BO и EO равны сторонам DO и CO соответственно. По двум сторонам и углу между ними, треугольники равны, если эти углы равны. Углы ∠BOE и ∠COD равны как вертикальные. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Утверждение о равенстве по трем сторонам верно, так как соответствующие стороны равны (OB=OC, OE=OD, BE=CD - это не обязательно, но OB=OD, OE=OC. BO=EO=DO=CO. Поэтому, BO=DO, OE=CO, ∠BOE=∠DOC. Значит, ΔBOE=ΔDOC по двум сторонам и углу между ними. BO=DO, OE=CO. Но BO=OE=DO=CO. Таким образом, BO=CO, OE=DO. А углы ∠BOE=∠COD. Значит, ΔBOE = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними.
4. 4) ΔBOE = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними
   Обоснование: OB = OC, OE = OD (все — радиусы). Углы ∠BOE и ∠COD равны как вертикальные углы. Следовательно, треугольники ΔBOE и ΔCOD равны по двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников).

Утверждения 1 и 4 верны.