5. Даны координаты трех вершин прямоугольника ABCD: A (-1;-1), B (-1; 3) и D (5;-1). 1) Начертите прямоугольник ABCD. 2) Найдите координаты вершины С. 3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, соетая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Решение:

1. Построение прямоугольника ABCD:

Отметим точки A(-1;-1), B(-1; 3) и D(5;-1) на координатной плоскости. Так как ABCD — прямоугольник, стороны AB и AD перпендикулярны. AB параллельна оси OY, AD параллельна оси OX.

2. Найдем координаты вершины С.

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Вектор AB = (0, 4), вектор AD = (6, 0). Вектор BC должен быть равен вектору AD, а вектор DC должен быть равен вектору AB.

Если B = (-1; 3), то C = B + AD = (-1 + 6; 3 + 0) = (5; 3).

Проверим: Если D = (5; -1), то C = D + AB = (5 + 0; -1 + 4) = (5; 3).

Координаты вершины C: (5; 3).

3. Найдем координаты точки пересечения диагоналей.

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой каждой диагонали. Найдем середину диагонали AC:

M = ( \( \frac{-1+5}{2} \); \( \frac{-1+3}{2} \) ) = ( \( \frac{4}{2} \); \( \frac{2}{2} \) ) = (2; 1).

Проверим, найдя середину диагонали BD:

M = ( \( \frac{-1+5}{2} \); \( \frac{3+(-1)}{2} \) ) = ( \( \frac{4}{2} \); \( \frac{2}{2} \) ) = (2; 1).

Координаты точки пересечения диагоналей: (2; 1).

4. Вычислим площадь и периметр прямоугольника.

Длина стороны AB:

AB = \( \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (3 - (-1))^2} \) = \( \sqrt{0^2 + 4^2} \) = \( \sqrt{16} \) = 4 см.

Длина стороны AD:

AD = \( \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2} \) = \( \sqrt{6^2 + 0^2} \) = \( \sqrt{36} \) = 6 см.

Площадь прямоугольника S = AB * AD = 4 см * 6 см = 24 см².

Периметр прямоугольника P = 2 * (AB + AD) = 2 * (4 см + 6 см) = 2 * 10 см = 20 см.

Ответ: 2) С(5; 3); 3) (2; 1); 4) Площадь: 24 см², Периметр: 20 см.