5. Даны координаты трех вершин прямоугольника ABCD: B(2; 2), C(2; -2) и D(-4; -1) 1) начертите этот прямоугольник. 2) найдите координаты точки А. 3) Найдите координаты точки пересечения отрезков АС и BD.

Решение:

1. Построение прямоугольника:
   Для построения прямоугольника ABCD на координатной плоскости отметим данные вершины: \( B(2; 2) \), \( C(2; -2) \), \( D(-4; -1) \).
   Отрезок BC имеет длину \( |2 - (-2)| = 4 \) и лежит на прямой \( x = 2 \).
   Отрезок CD имеет длину \( |2 - (-4)| = 6 \) и лежит на прямой \( y = -2 \).
   Так как BC перпендикулярен CD (одна вертикальная, другая горизонтальная), это действительно вершины прямоугольника.
2. Нахождение координат точки А:
   В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Вектор \( \vec{BC} = (2-2, -2-2) = (0, -4) \).
   Вектор \( \vec{CD} = (-4-2, -1-(-2)) = (-6, 1) \).
   Вектор \( \vec{AD} = \vec{BC} = (0, -4) \).
   Пусть \( A = (x_A, y_A) \). Тогда \( \vec{AD} = (x_D - x_A, y_D - y_A) = (-4 - x_A, -1 - y_A) \).
   Приравнивая компоненты: \( -4 - x_A = 0 ⇒ x_A = -4 \), \( -1 - y_A = -4 ⇒ y_A = 3 \>.
   Следовательно, \( A(-4; 3) \>.
   Проверка: \( \(\vec{AB}\) = (2 - (-4), 2 - 3) = (6, -1) \>.
   \( \(\vec{DC}\) = (2 - (-4), -2 - (-1)) = (6, -1) \>. Векторы равны, значит, параллельны и равны по длине.
3. Нахождение точки пересечения диагоналей:
   Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая является серединой каждой из них. Найдем середину диагонали AC.
   \( M_{AC} = { \(\frac{x_A + x_C}{2}\), \(\frac{y_A + y_C}{2}\) } = { \(\frac{-4 + 2}{2}\), \(\frac{3 + (-2)}{2}\) } = { \(\frac{-2}{2}\), \(\frac{1}{2}\) } = (-1; 0.5) \>.
   Проверка: Найдем середину диагонали BD.
   \( M_{BD} = { \(\frac{x_B + x_D}{2}\), \(\frac{y_B + y_D}{2}\) } = { \(\frac{2 + (-4)}{2}\), \(\frac{2 + (-1)}{2}\) } = { \(\frac{-2}{2}\), \(\frac{1}{2}\) } = (-1; 0.5) \>.
   Координаты середины совпадают.

Ответ: 1) Построение выполнено на координатной плоскости. 2) Координаты точки А: \( (-4; 3) \>. 3) Координаты точки пересечения диагоналей: \( (-1; 0.5) \>.