5. Даны вершины четырёхугольника: A(0; 0), B(1; 4), C(4; 2), D(3; 0). Докажите, что диагонали AC и BD перпендикулярны.

Найдём координаты векторов диагоналей:

AC = (4 − 0; 2 − 0) = (4; 2), BD = (3 − 1; 0 − 4) = (2; −4).

Вычислим их скалярное произведение: AC · BD = 4 · 2 + 2 · (−4) = 8 − 8 = 0.

Так как скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, диагонали перпендикулярны. Следовательно, AC ⟂ BD.