5. Диагональ АС ромба ABCD равна 240, а tg/BCA = 7/24. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

Пусть дан ромб ABCD. Диагональ AC = 240. Диагонали ромба пересекаются в точке O и делятся пополам под прямым углом. Следовательно, \( AO = OC = \frac{240}{2} = 120 \). Треугольник BOC — прямоугольный, \( \angle BOC = 90^{\circ} \).

По условию, \( tg \angle BCA = \frac{7}{24} \).

В прямоугольном треугольнике BOC:

• \( \text{tg} \angle BCA = \frac{BO}{OC} \)

Подставим известные значения:

\[ \frac{7}{24} = \frac{BO}{120} \]

Найдем BO:

\[ BO = \frac{7}{24} \cdot 120 = 7 \cdot \frac{120}{24} = 7 \cdot 5 = 35 \]

Диагональ BD = \( 2 \cdot BO = 2 \cdot 35 = 70 \).

Площадь ромба можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 240 \cdot 70 \]

\[ S = 120 \cdot 70 = 8400 \]

Также площадь ромба можно найти как произведение его стороны на высоту. Радиус вписанной окружности (r) равен половине высоты ромба (h): \( r = \frac{h}{2} \).

Площадь ромба также равна \( S = a \cdot h \), где a — сторона ромба.

Найдем сторону ромба AB (или BC) из прямоугольного треугольника BOC по теореме Пифагора:

\[ BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{35^2 + 120^2} \]

\[ 35^2 = 1225 \]

\[ 120^2 = 14400 \]

\[ BC = \sqrt{1225 + 14400} = \sqrt{15625} \]

\[ \sqrt{15625} = 125 \]

Итак, сторона ромба \( a = 125 \).

Теперь найдем высоту ромба:

\[ h = \frac{S}{a} = \frac{8400}{125} \]

\[ h = \frac{8400 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{67200}{1000} = 67.2 \]

Радиус вписанной окружности равен половине высоты:

\[ r = \frac{h}{2} = \frac{67.2}{2} = 33.6 \]

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 33.6.