5. Диагонали параллелограмма ABCD продолжены на равные отрезки AM, BK, CN и DP. Докажите, что MKNP — параллелограмм.

Пусть диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, поэтому O — середина AC и BD.

Точки M, A, O, C, N лежат на одной прямой, причём AM = CN. Так как OA = OC, получаем OM = OA + AM и ON = OC + CN, следовательно, OM = ON. Значит, O — середина MN.

Аналогично, точки K, B, O, D, P лежат на одной прямой. Из BK = DP и OB = OD следует OK = OP, то есть O — середина KP.

Итак, диагонали четырёхугольника MKNP взаимно делятся пополам. Следовательно, MKNP — параллелограмм.