5) Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите ∠COD, если он в 4 раза меньше ∠ABD.

Обозначим \(\angle ABD = x\). В прямоугольном треугольнике ABD угол при A равен 90°, поэтому \(\angle ADB = 90° - x\).

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, значит, \(OA = OB = OC = OD\). В треугольнике BCD углы при B и C равны соответственно \(90° - x\) и \(x\), поэтому \(\angle BCD = 90°\). Угол \(COD\) смежный с \(\angle BOD\); из равнобедренного треугольника BOD получаем \(\angle BOD = 180° - 2x\), следовательно, \(\angle COD = 2x\).

По условию \(\angle COD\) в 4 раза меньше \(\angle ABD\): \(2x = x/4\) — такое соотношение невозможно при ненулевом угле. Исправим геометрическое соотношение: для прямоугольника угол между диагоналями \(\angle COD = 180° - 2\angle ABD\). Тогда \(180° - 2x = x/4\), откуда \(180° = 9x/4\), \(x = 80°\), а \(\angle COD = 20°\).

Ответ: \(20°\).