5. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, угол ABO равен 36°. Найдите угол AOD.

В прямоугольнике ∠BAD = 90°. Так как O лежит на диагонали AC, луч BO лежит на диагонали BD.

В треугольнике ABO: ∠BAO = 90° − 36° = 54°. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому AO = BO. Следовательно, треугольник ABO равнобедренный, и ∠ABO = ∠BAO. Это также даёт ∠ABO = 54°, что противоречит условию 36°.

Значит, при данных обозначениях условие несовместимо: в прямоугольнике угол между стороной AB и диагональю BD не может быть 36° одновременно с указанной конфигурацией? Проверим: AO = BO действительно, поскольку AC = BD и O — их середина, поэтому углы при A и B треугольника ABO равны; прямой угол при A здесь не следует, так как AO лежит на AC, а AB перпендикулярна AD, не AC.

Так как ∠AOB = 180° − 2·36° = 108°. Луч OB и OD — противоположные лучи, поэтому ∠AOD = 180° − ∠AOB = 72°.

Ответ: 72°.