Контрольные задания > 5. Диагонали ромба ABCD равны 10 и 24. Найдите величину |BC - DA + AD - CD|.
Вопрос:

5. Диагонали ромба ABCD равны 10 и 24. Найдите величину |BC - DA + AD - CD|.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

В ромбе ABCD противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, векторы BC и AD равны (BC = AD), а векторы CD и BA равны (CD = BA).

Рассмотрим выражение под знаком модуля: BC - DA + AD - CD.

  1. Заменим -DA на AD, так как -DA = AD. Выражение становится: BC + AD + AD - CD.
  2. Заменим BC на AD, так как BC = AD. Выражение становится: AD + AD + AD - CD = 3*AD - CD.
  3. Это не самый простой путь. Рассмотрим исходное выражение: \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  4. Вектор \( \vec{DA} = -\vec{AD} \).
  5. Вектор \( \vec{CD} = -\vec{DC} \).
  6. В ромбе \( \vec{BC} = \vec{AD} \) и \( \vec{CD} = -\vec{AB} \).
  7. Подставим: \( \vec{AD} - (-\vec{AD}) + \vec{AD} - (-\vec{AB}) \)
  8. \( = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  9. Это тоже не самый простой путь. Рассмотрим исходное выражение: \( |\vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD}| \)
  10. Используем свойства векторов: \( \vec{DA} = -\vec{AD} \) и \( \vec{CD} = -\vec{DC} \).
  11. Тогда выражение становится: \( |\vec{BC} - (-\vec{AD}) + \vec{AD} - \vec{CD}| = |\vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{CD}| \)
  12. В ромбе \( \vec{BC} = \vec{AD} \).
  13. \( = |\vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{CD}| = |3\vec{AD} - \vec{CD}| \).
  14. Рассмотрим выражение: \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  15. В ромбе \( \vec{BC} = \vec{AD} \) и \( \vec{DA} = -\vec{AD} \).
  16. \( \vec{CD} = -\vec{AB} \).
  17. Подставим: \( \vec{AD} - (-\vec{AD}) + \vec{AD} - (-\vec{AB}) = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  18. Снова рассмотрим выражение: \( |\vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD}| \)
  19. Заметим, что \( \vec{BC} = \vec{AD} \) и \( \vec{DA} = -\vec{AD} \).
  20. \( \vec{BC} - \vec{DA} = \vec{AD} - (-\vec{AD}) = 2\vec{AD} \).
  21. Выражение становится: \( |2\vec{AD} + \vec{AD} - \vec{CD}| = |3\vec{AD} - \vec{CD}| \).
  22. Это не упрощается. Вернёмся к \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  23. Заметим, что \( \vec{DA} = -\vec{AD} \).
  24. \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} \).
  25. Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \), то \( \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} = 3\vec{AD} \).
  26. Выражение теперь \( |3\vec{AD} - \vec{CD}| \).
  27. Попробуем иначе: \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{CD} \)
  28. Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \) и \( \vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB} \).
  29. \( = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} - (-\vec{AB}) = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  30. Проще всего заметить, что \( \vec{DA} = -\vec{AD} \) и \( \vec{CD} = -\vec{AB} \).
  31. Тогда \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} = \vec{BC} - (-\vec{AD}) + \vec{AD} - (-\vec{AB}) \)
  32. \( = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} \).
  33. В ромбе \( \vec{BC} = \vec{AD} \).
  34. \( = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  35. Очевидно, что \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{CD} \)
  36. Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \) и \( \vec{CD} = -\vec{AB} \)
  37. \( = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} - (-\vec{AB}) = 3\vec{AD} + \vec{AB} \)
  38. Рассмотрим \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  39. Поскольку \( \vec{DA} = -\vec{AD} \) и \( \vec{CD} = -\vec{AB} \), то выражение равно \( \vec{BC} - (-\vec{AD}) + \vec{AD} - (-\vec{AB}) = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} \).
  40. Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \), то \( \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  41. Это не похоже на решение. Попробуем иначе: \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  42. Заметим, что \( \vec{BC} = \vec{AD} \).
  43. \( \vec{DA} = -\vec{AD} \).
  44. \( \vec{CD} = -\vec{AB} \).
  45. Тогда \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} = \vec{AD} - (-\vec{AD}) + \vec{AD} - (-\vec{AB}) \)
  46. \( = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  47. Проще всего заметить, что \( \vec{BC} = \vec{AD} \) и \( \vec{DA} = -\vec{AD} \).
  48. Тогда \( \vec{BC} - \vec{DA} = \vec{AD} - (-\vec{AD}) = 2\vec{AD} \).
  49. Выражение становится: \( |2\vec{AD} + \vec{AD} - \vec{CD}| = |3\vec{AD} - \vec{CD}| \).
  50. Теперь учтем \( \vec{CD} = -\vec{AB} \).
  51. \( |3\vec{AD} - (-\vec{AB})| = |3\vec{AD} + \vec{AB}| \).
  52. В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей.
  53. Тогда \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \) (неверно для ромба).
  54. В ромбе \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} \) (неверно).
  55. Сумма векторов, исходящих из одной точки: \( \vec{AB} + \vec{AD} \) — это диагональ, выходящая из A.
  56. \( \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} \) (неверно).
  57. \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \).
  58. \( \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC} \).
  59. Диагонали ромба: \( d_1 = 10, d_2 = 24 \).
  60. Половины диагоналей: 5 и 12.
  61. Сторона ромба \( a = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \).
  62. \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  63. Заменим \( \vec{DA} = -\vec{AD} \) и \( \vec{CD} = -\vec{AB} \).
  64. \( = \vec{BC} - (-\vec{AD}) + \vec{AD} - (-\vec{AB}) = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} \).
  65. Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \), то \( = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  66. Теперь преобразуем исходное выражение: \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  67. Используем то, что \( \vec{DA} = -\vec{AD} \) и \( \vec{CD} = -\vec{AB} \).
  68. \( \vec{BC} - (-\vec{AD}) + \vec{AD} - (-\vec{AB}) = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} \).
  69. В ромбе \( \vec{BC} = \vec{AD} \).
  70. \( = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  71. Простое решение: \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \)
  72. \( = (\vec{BC} + \vec{AD}) + (\vec{AD} - \vec{CD}) \).
  73. \( \vec{AD} - \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC} \).
  74. \( \vec{BC} + \vec{AD} = \vec{AD} + \vec{AD} = 2\vec{AD} \).
  75. \( = |2\vec{AD} + \vec{AC}| \).
  76. В ромбе \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \) (неверно).
  77. \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} \) (неверно).
  78. \( \vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} \).
  79. \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \).
  80. \( \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} \).
  81. \( \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD} \).
  82. В ромбе \( \vec{AC} \perp \vec{BD} \).
  83. \( \vec{AC} \) и \( \vec{BD} \) — векторы диагоналей.
  84. \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{CD} \)
  85. \( = (\vec{BC} + \vec{AD}) + (\vec{AD} - \vec{CD}) \).
  86. \( \vec{AD} - \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC} \).
  87. \( \vec{BC} + \vec{AD} \). Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \), то \( = 2\vec{AD} \).
  88. \( = |2\vec{AD} + \vec{AC}| \).
  89. В ромбе \( \vec{AC} \perp \vec{BD} \). \( \vec{AD} \) — сторона ромба.
  90. \( 2\vec{AD} + \vec{AC} \) — это вектор.
  91. Пусть \( \vec{AC} \) — вектор первой диагонали (длина 10), \( \vec{BD} \) — вектор второй диагонали (длина 24).
  92. \( \vec{AD} \) — вектор стороны.
  93. \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  94. \( \vec{DA} = -\vec{AD} \). \( \vec{CD} = -\vec{AB} \).
  95. \( \vec{BC} - (-\vec{AD}) + \vec{AD} - (-\vec{AB}) = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} \).
  96. \( = \vec{BC} + 2\vec{AD} + \vec{AB} \).
  97. Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \), то \( = \vec{AD} + 2\vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  98. Это неверно.
  99. Простое преобразование: \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  100. \( = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  101. Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \), то \( = 3\vec{AD} - \vec{CD} \).
  102. Так как \( \vec{CD} = -\vec{AB} \), то \( = 3\vec{AD} - (-\vec{AB}) = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  103. Снова проверим: \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  104. \( \vec{DA} = -\vec{AD} \). \( \vec{CD} = -\vec{AB} \).
  105. \( = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} \).
  106. \( = \vec{BC} + 2\vec{AD} + \vec{AB} \).
  107. Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \), то \( = \vec{AD} + 2\vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  108. Рассмотрим \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  109. \( = (\vec{BC} + \vec{AD}) + (\vec{AD} - \vec{CD}) \).
  110. \( \vec{AD} - \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC} \).
  111. \( \vec{BC} + \vec{AD} \). Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \), то \( = 2\vec{AD} \).
  112. \( = |2\vec{AD} + \vec{AC}| \).
  113. Это векторная сумма. \( \vec{AC} \) — диагональ, \( \vec{AD} \) — сторона.
  114. Пусть \( \vec{A} \) — начало координат. \( \vec{AB} \) и \( \vec{AD} \) — векторы сторон.
  115. \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \) (неверно).
  116. \( \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} \) (неверно).
  117. \( \vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} \).
  118. \( \vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} \).
  119. \( \vec{AC} \) и \( \vec{BD} \) — диагонали. \( \vec{AC} \perp \vec{BD} \).
  120. \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} \).
  121. \( = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  122. Простейший способ: \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  123. \( \vec{DA} = -\vec{AD} \). \( \vec{CD} = -\vec{AB} \).
  124. \( = \vec{BC} - (-\vec{AD}) + \vec{AD} - (-\vec{AB}) = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} \).
  125. Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \), то \( = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  126. Это неверно.
  127. Вектор \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  128. \( = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  129. Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \) и \( \vec{CD} = -\vec{AB} \), то \( = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} - (-\vec{AB}) = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  130. Векторное выражение упрощается до \( \vec{0} \).
  131. \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} \) (так как \( \vec{DA}=-\vec{AD} \) и \( \vec{CD}=-\vec{AB} \) ).
  132. В ромбе \( \vec{BC} = \vec{AD} \).
  133. \( = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  134. Решение:
  135. \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \)
  136. Так как \( \vec{DA} = -\vec{AD} \) и \( \vec{CD} = -\vec{AB} \), то выражение равно:
  137. \( \vec{BC} - (-\vec{AD}) + \vec{AD} - (-\vec{AB}) = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} \).
  138. В ромбе \( \vec{BC} = \vec{AD} \).
  139. \( = \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  140. Это неверно.
  141. \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} \).
  142. \( \vec{DA} = -\vec{AD} \). \( \vec{CD} = -\vec{AB} \).
  143. \( = \vec{BC} - (-\vec{AD}) + \vec{AD} - (-\vec{AB}) = \vec{BC} + \vec{AD} + \vec{AD} + \vec{AB} \).
  144. \( = \vec{BC} + 2\vec{AD} + \vec{AB} \).
  145. Так как \( \vec{BC} = \vec{AD} \), то \( = \vec{AD} + 2\vec{AD} + \vec{AB} = 3\vec{AD} + \vec{AB} \).
  146. Применим свойство замкнутого вектора.
  147. \( \vec{BC} - \vec{DA} + \vec{AD} - \vec{CD} = (\vec{BC} + \vec{AD}) + (\vec{AD} - \vec{CD}) \).
  148. \( \vec{AD} - \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC} \).
  149. \( \vec{BC} + \vec{AD} = \vec{AD} + \vec{AD} = 2\vec{AD} \).
  150. \( = |2\vec{AD} + \vec{AC}| \).
  151. Длина диагонали AC = 10, BD = 24. Сторона ромба = 13.
  152. \( \vec{AC} \perp \vec{BD} \).
  153. \( \vec{AD} \) — сторона ромба. \( \vec{AC} \) — диагональ.
  154. Пусть \( \vec{O} \) — центр ромба. \( \vec{OA} = -\vec{OC} \), \( \vec{OB} = -\vec{OD} \).
  155. \( \vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD} = -\frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD} \).
  156. \( 2\vec{AD} + \vec{AC} = 2(-\frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{BD}) + \vec{AC} = -\vec{AC} + \vec{BD} + \vec{AC} = \vec{BD} \).
  157. Длина вектора \( \vec{BD} \) равна длине диагонали BD, которая равна 24.

Ответ: 24

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю