5. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а длина ее средней линии равна 10. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

Обозначим основания трапеции через a и b, а высоту — через h. Пусть горизонтальное смещение верхнего основания относительно нижнего равно x.

Расположим трапецию в координатной плоскости: её вершины имеют координаты \((0,0)\), \((b,0)\), \((x+a,h)\), \((x,h)\). Тогда векторы диагоналей можно записать как \((x+a,h)\) и \((x-b,h)\).

Диагонали перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: \((x+a)(x-b)+h^2=0\).

Вектор от середины одного основания к середине другого равен \((x+(a-b)/2,h)\). С учётом условия перпендикулярности его длина в квадрате равна \((a+b)^2/4\). Следовательно, длина отрезка между серединами оснований равна \((a+b)/2\), то есть длине средней линии трапеции.

По условию средняя линия равна 10.

Ответ: 10.