5. Диаметр сферы равен d. Плоскость, проходящая через конец диаметра сферы под углом β к этому диаметру, пересекает сферу. Найдите длину линии пересечения сферы с данной плоскостью.

1. Линия пересечения сферы и плоскости является окружностью.

2. Плоскость проходит через конец диаметра под углом β. Расстояние от центра сферы до этой плоскости равно (d/2) * sin(β).

3. Радиус окружности сечения (r) находится по теореме Пифагора: r² = R² - h², где R = d/2 и h = (d/2) * sin(β). Следовательно, r² = (d/2)² - ((d/2) * sin(β))² = (d/2)² * (1 - sin²(β)) = (d/2)² * cos²(β).

4. Радиус окружности сечения равен r = (d/2) * cos(β).

5. Длина линии пересечения (длина окружности) равна L = 2πr = 2π * (d/2) * cos(β) = πd * cos(β).