5. $\displaystyle \lim_{x\to 0}(1+5x)^{\frac{1}{x}}$

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. $\displaystyle \lim_{x\to 0}(1+5x)^{\frac{1}{x}}$$ Фото задания

Accepted Answer

Используем стандартный предел $\displaystyle \lim_{u\to 0}(1+u)^{1/u}=e$. Положим $u=5x$; тогда $u\to 0$, а $\frac{1}{x}=\frac{5}{u}$.

\[(1+5x)^{1/x}=\bigl((1+5x)^{1/(5x)}\bigr)^5.\]

Следовательно,

\[\lim_{x\to 0}(1+5x)^{1/x}=e^5.\]

Ответ: $e^5$.

5. \(\displaystyle \lim_{x\to 0}(1+5x)^{\frac{1}{x}}\)