5. Для ромба ABCD, стороны которого равны 1, а угол A равен 60°, найдите скалярный квадрат вектора: а) \(\overrightarrow{AC}\); б) \(\overrightarrow{BD}\).

Пусть \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}\) и \(\overrightarrow{AD}=\mathbf{v}\). Тогда \(|\mathbf{u}|=|\mathbf{v}|=1\) и угол между ними равен 60°.

1. \(\overrightarrow{AC}=\mathbf{u}+\mathbf{v}\). Поэтому
   \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}=|\mathbf{u}|^2+2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+|\mathbf{v}|^2=1+2\cos 60^\circ+1=3.\)
2. \(\overrightarrow{BD}=\mathbf{v}-\mathbf{u}\). Поэтому
   \(\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{BD}=|\mathbf{v}|^2-2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+|\mathbf{u}|^2=1-2\cos 60^\circ+1=1.\)

Ответ: а) 3; б) 1.