5. Доказать тождество (tga + ctga)(1 - cos 4a) = 4 sin 2a.

5. Доказательство тождества:

Левая часть: \[ (\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha)(1 - \cos 4\alpha) \]

• Упростим первый множитель: \[ \text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\cos \alpha \sin \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha \sin \alpha} \]
• Используем формулу синуса двойного угла \[ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]. Отсюда \[ \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin(2\alpha)}{2} \]
• Тогда, \[ \frac{1}{\cos \alpha \sin \alpha} = \frac{1}{\frac{\sin(2\alpha)}{2}} = \frac{2}{\sin(2\alpha)} \]
• Упростим второй множитель, используя формулу косинуса двойного угла \[ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x \] . Применим ее дважды: \[ 1 - \cos 4\alpha = 1 - (1 - 2\sin^2(2\alpha)) = 2\sin^2(2\alpha) \]
• Перемножаем упрощенные множители: \[ \frac{2}{\sin(2\alpha)} \cdot 2\sin^2(2\alpha) = 2 \sin(2\alpha) \]

Полученный результат \[ 2 \sin(2\alpha) \] не совпадает с правой частью \[ 4 \sin 2\alpha \]. Давайте перепроверим.

Пересмотр решения:

• \[ \text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{\sin(2\alpha)} \]
• \[ 1 - \cos 4\alpha = 2 \sin^2(2\alpha) \]
• \[ (\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha)(1 - \cos 4\alpha) = \frac{2}{\sin(2\alpha)} \cdot 2 \sin^2(2\alpha) = 4 \sin(2\alpha) \]

Таким образом, левая часть равна правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.