№5. Докажите, что: а) 3¹⁹ − 27⁶ + 9⁸ делится на 57; б) 5¹² − 1 кратно 124.

Преобразуем степени к основанию 3: \(27^6=3^{18}\), \(9^8=3^{16}\).

\(3^{19}-27^6+9^8=3^{19}-3^{18}+3^{16}=3^{16}(27-9+1)=19\cdot3^{16}=57\cdot3^{15}\).

Значит, выражение делится на 57.

Так как \(5^3=125=124+1\), имеем \(5^{12}=(5^3)^4=(124+1)^4\).

При раскрытии степени все слагаемые, кроме последнего 1, содержат множитель 124. Поэтому \(5^{12}-1\) делится на 124.