5. Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найдите его площадь, если A (13; 2), B (19; 5), C (17; 9) и D (11; 6).

Найдём направляющие векторы соседних сторон:

\(\overrightarrow{AB}=(19-13;5-2)=(6;3)\),

\(\overrightarrow{BC}=(17-19;9-5)=(-2;4)\).

Проверим перпендикулярность соседних сторон:

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=6\cdot(-2)+3\cdot4=-12+12=0\).

Следовательно, \(AB\perp BC\). Кроме того, \(\overrightarrow{AD}=(11-13;6-2)=(-2;4)=\overrightarrow{BC}\), а \(\overrightarrow{DC}=(17-11;9-6)=(6;3)=\overrightarrow{AB}\). Значит, противоположные стороны параллельны, и ABCD — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник.

Длина стороны \(AB\): \(AB=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).

Длина стороны \(BC\): \(BC=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).

Площадь прямоугольника:

\(S_{ABCD}=AB\cdot BC=3\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}=30\).

Ответ: \(S_{ABCD}=30\)