5. Докажите, что параллелограмм, у которого высоты, проведённые из вершины острого угла, равны, является ромбом.

Пусть у параллелограмма острый угол расположен при вершине \(A\), а длины смежных сторон равны \(AB=c\) и \(AD=d\). Высота из вершины \(A\), опущенная на прямую \(BC\), равна \(d\sin A\), поскольку \(BC\parallel AD\). Высота из \(A\), опущенная на прямую \(CD\), равна \(c\sin A\), поскольку \(CD\parallel AB\).

По условию эти высоты равны: \(d\sin A=c\sin A\). Так как угол \(A\) острый, \(\sin A\ne0\), поэтому \(c=d\).

В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит, при равенстве двух смежных сторон все четыре стороны равны, и параллелограмм является ромбом.

Что и требовалось доказать.