5. Докажите, что при любых значениях переменных верно равенство (x-y)(x+y)-(a-x+y)(a-х-у)-а (2x-a) = 0.

Решение:

Раскроем скобки в левой части равенства:

1. Первое слагаемое: \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \) (по формуле разности квадратов).
2. Второе слагаемое: \( (a-x+y)(a-x-y) \). Обозначим \( A = a-x \). Тогда выражение принимает вид \( (A+y)(A-y) = A^2 - y^2 \). Подставляя \( A \) обратно, получаем \( (a-x)^2 - y^2 = a^2 - 2ax + x^2 - y^2 \).
3. Третье слагаемое: \( -a(2x-a) = -2ax + a^2 \).

Теперь сложим все полученные выражения:

\( (x^2 - y^2) - (a^2 - 2ax + x^2 - y^2) - (-2ax + a^2) \)

Раскроем скобки:

\( x^2 - y^2 - a^2 + 2ax - x^2 + y^2 + 2ax - a^2 \)

Приведём подобные слагаемые:

\( (x^2 - x^2) + (-y^2 + y^2) + (-a^2 - a^2) + (2ax + 2ax) \)

\( 0 + 0 - 2a^2 + 4ax \)

Получили \( 4ax - 2a^2 \). Это не равно 0. Проверим условие и скобки.

Перепишем второе слагаемое: \( -(a-x+y)(a-x-y) \). Обозначим \( B = a-x \). Тогда \( -(B+y)(B-y) = -(B^2 - y^2) = -((a-x)^2 - y^2) = -(a^2 - 2ax + x^2 - y^2) = -a^2 + 2ax - x^2 + y^2 \).

Теперь сложим все части:

\( (x^2 - y^2) + (-a^2 + 2ax - x^2 + y^2) + (-2ax + a^2) \)

Раскроем скобки:

\( x^2 - y^2 - a^2 + 2ax - x^2 + y^2 - 2ax + a^2 \)

Приведём подобные слагаемые:

\( (x^2 - x^2) + (-y^2 + y^2) + (-a^2 + a^2) + (2ax - 2ax) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \).

Левая часть равенства равна 0, что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.