5. Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm1$ значение выражения $(b-1)^2\left(\frac{1}{b^2-2b+1}+\frac{1}{b^2-1}\right)+\frac{2}{b+1}$ не зависит от $b$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 5. Докажите, что при всех значениях $b\ne\pm1$ значение выражения…$ Фото задания

Accepted Answer

Учитываем ограничение: $b\ne1$ и $b\ne-1$, поэтому знаменатели не равны нулю.

Разложим знаменатели на множители:

\[b^2-2b+1=(b-1)^2,\qquad b^2-1=(b-1)(b+1).\]

Подставим и упростим:

\[(b-1)^2\left(\frac{1}{(b-1)^2}+\frac{1}{(b-1)(b+1)}\right)+\frac{2}{b+1}=1+\frac{b-1}{b+1}+\frac{2}{b+1}.\]

Сложим дроби:

\[1+\frac{b-1+2}{b+1}=1+\frac{b+1}{b+1}=2.\]

Получилось постоянное значение, не зависящее от $b$.

Ответ: 2.

5. Докажите, что при всех значениях \(b\ne\pm1\) значение выражения \((b-1)^2\left(\frac{1}{b^2-2b+1}+\frac{1}{b^2-1}\right)+\frac{2}{b+1}\) не зависит от \(b\).