5. Докажите, что сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. Доказательство. Обозначим углы многоугольника A₁, A₂, …, Aₙ. Тогда его внешние углы будут равны 180° − ∠A₁, 180° − ∠A₂, …, 180° − ∠Aₙ. Сложив эти величины, получим сумму всех внешних углов многоугольника: (180° − ∠A₁) + (180° − ∠A₂) + … + (180° − ∠Aₙ) = 180°n − (∠A₁ + ∠A₂ + … + ∠Aₙ) = 180°n − 180°(n − 2) = _____.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна \(180^\circ(n-2)\). Поэтому:

\[\begin{aligned}(180^\circ-\angle A_1)+(180^\circ-\angle A_2)+\dots+(180^\circ-\angle A_n)&=180^\circ n-(\angle A_1+\angle A_2+\dots+\angle A_n)\\&=180^\circ n-180^\circ(n-2)\\&=180^\circ n-180^\circ n+360^\circ\\&=360^\circ.\end{aligned}\]

Следовательно, сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна \(360^\circ\).

Ответ: 360°.