5. Докажите, что сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Обозначим внутренние углы многоугольника через \(A_1, A_2, \ldots, A_n\). Внешний угол при каждой вершине смежен с внутренним, поэтому равен соответственно \(180°-A_1, 180°-A_2, \ldots, 180°-A_n\).

Сумма внешних углов равна:

\((180°-A_1)+(180°-A_2)+\ldots +(180°-A_n)=180°n-(A_1+A_2+\ldots +A_n)\).

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна \(180°(n-2)\). Поэтому сумма внешних углов равна \(180°n-180°(n-2)=360°\).

Что и требовалось доказать.