5. Докажите, что значение выражения \(4\sqrt{6\frac{1}{4}}-3\sqrt{1\frac{7}{9}}\) является рациональным числом.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

\[6\frac{1}{4}=\frac{25}{4},\qquad 1\frac{7}{9}=\frac{16}{9}.\]

Вычислим выражение:

\[4\sqrt{\frac{25}{4}}-3\sqrt{\frac{16}{9}}=4\cdot\frac{5}{2}-3\cdot\frac{4}{3}=10-4=6.\]

Число \(6\) является целым, а значит, рациональным.

Ответ: значение выражения равно 6; это рациональное число.