5. Докажите, что значение выражения \(\frac{1}{2\sqrt{3}+1}-\frac{1}{2\sqrt{3}-1}\) есть число рациональное.

Приведём дроби к общему знаменателю, используя формулу разности квадратов:

\[\frac{1}{2\sqrt{3}+1}-\frac{1}{2\sqrt{3}-1}=\frac{(2\sqrt{3}-1)-(2\sqrt{3}+1)}{(2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)}.\]

В числителе получаем \(-2\), а знаменатель равен \((2\sqrt{3})^2-1^2=12-1=11\). Поэтому

\[\frac{1}{2\sqrt{3}+1}-\frac{1}{2\sqrt{3}-1}=-\frac{2}{11}.\]

Это отношение целых чисел, следовательно, оно рациональное.

Ответ: \(-\frac{2}{11}\), рациональное число.