5*. Докажите справедливость неравенства: а) x² + y² − 2x + 4y + 5 > 0; б) x⁴ − 3x² − 2x + 6 > 0; в) x² + 2x + 1/(x² + 2x + 2) > 0.

а) Преобразуем левую часть, выделив полные квадраты:

\(x^2+y^2-2x+4y+5=(x-1)^2+(y+2)^2\).

Сумма квадратов неотрицательна, но может равняться нулю при \(x=1\), \(y=-2\). Тогда исходное строгое неравенство неверно. Например, при этой паре левая часть равна 0.

б) Рассмотрим функцию \(f(x)=x^4-3x^2-2x+6\). Её производная:

\(f'(x)=4x^3-6x-2=2(x+1)(2x^2-2x-1)\).

Критические точки: \(x=-1\), \(x=(1-\sqrt3)/2\) и \(x=(1+\sqrt3)/2\). Поскольку \(f(x)\to+\infty\) при \(x\to\pm\infty\), минимум достигается в одной из этих точек. Значения функции в них:

\(f(-1)=6\), \(f((1-\sqrt3)/2)=\frac{15}{4}+\frac{3\sqrt3}{2}>0\), \(f((1+\sqrt3)/2)=\frac{15}{4}-\frac{3\sqrt3}{2}>0\).

Последнее значение положительно, поскольку \(15>6\sqrt3\), что следует из \(225>108\). Значит, во всех критических точках функция положительна, следовательно, \(f(x)>0\) при любом действительном \(x\).

в) Обозначим \(t=x^2+2x\). Тогда \(t=(x+1)^2-1\ge -1\), а знаменатель \(t+2\ge1\), поэтому он не равен нулю. Левую часть можно преобразовать:

\(t+\frac1{t+2}=\frac{t(t+2)+1}{t+2}=\frac{(t+1)^2}{t+2}\ge0\).

При \(x=-1\) получаем \(t=-1\), и левая часть равна 0. Поэтому строгое неравенство неверно: оно выполняется при всех \(x\ne-1\), но не при \(x=-1\).

Итог: пункты а) и в) неверны при строгом знаке >; пункт б) верен для всех действительных x.