5 Докажите тождество (2x + y)² + (2x - y)² = 2(4x² + y²).

Решение:

Чтобы доказать тождество, раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности:

• \[ (2x + y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(y) + y^2 = 4x^2 + 4xy + y^2 \]
• \[ (2x - y)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(y) + y^2 = 4x^2 - 4xy + y^2 \]

Теперь сложим полученные выражения:

• \[ (4x^2 + 4xy + y^2) + (4x^2 - 4xy + y^2) \]
• \[ 4x^2 + 4xy + y^2 + 4x^2 - 4xy + y^2 \]

Сократим противоположные члены (4xy и -4xy):

• \[ 4x^2 + y^2 + 4x^2 + y^2 \]
• \[ 8x^2 + 2y^2 \]

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

• \[ 2(4x^2 + y^2) \]

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью исходного тождества.

Тождество доказано.