5. Два автомобиля одновременно выехали навстречу друг другу из городов, находящихся на расстоянии 510 км. Скорость первого автомобиля составляет 70% скорости второго. Через сколько часов автомобили встретятся, если скорость второго больше скорости первого на 30 км/ч?

Решение:

Обозначим скорость второго автомобиля как \( v_2 \) км/ч. Тогда скорость первого автомобиля \( v_1 \) составляет 70% от \( v_2 \), то есть \( v_1 = 0.7 \cdot v_2 \) км/ч.

Также известно, что скорость второго автомобиля больше скорости первого на 30 км/ч:

\( v_2 = v_1 + 30 \)

Подставим \( v_1 = 0.7 \cdot v_2 \) во второе уравнение:

\( v_2 = 0.7 \cdot v_2 + 30 \)

Вычтем \( 0.7 \cdot v_2 \) из обеих частей уравнения:

\( v_2 - 0.7 \cdot v_2 = 30 \)

\( 0.3 \cdot v_2 = 30 \)

Найдем \( v_2 \):

\( v_2 = \frac{30}{0.3} = 100 \text{ км/ч} \)

Теперь найдем \( v_1 \):

\( v_1 = 0.7 \cdot v_2 = 0.7 \cdot 100 = 70 \text{ км/ч} \)

Проверка: \( 100 - 70 = 30 \) км/ч. Условие выполняется.

Автомобили едут навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей:

\( v_{\text{сближения}} = v_1 + v_2 = 70 + 100 = 170 \text{ км/ч} \)

Расстояние между городами равно 510 км.

Чтобы найти время до встречи, разделим расстояние на скорость сближения:

\( t = \frac{S}{v_{\text{сближения}}} = \frac{510 \text{ км}}{170 \text{ км/ч}} \)

\( t = 3 \text{ часа} \)

Ответ: 3 часа.