5. Два автомобиля выехали по взаимно перпендикулярным дорогам, приближаясь к перекрёстку. Модуль скорости движения первого автомобиля v₁ = 50 км/ч, модуль скорости движения второго — v₂ = 70 км/ч. В начальный момент времени первый автомобиль находился на расстоянии l₁ = 640 м, а второй — на расстоянии l₂ = 600 м от перекрёстка. Через какой промежуток времени расстояние между автомобилями станет таким же, как в начальный момент времени?

Переведём скорости в метры в минуту: 50 км/ч = 833⅓ м/мин, 70 км/ч = 1166⅔ м/мин.

Через t минут расстояния автомобилей до перекрёстка составят 640 − 833⅓t и 600 − 1166⅔t метров. Так как дороги перпендикулярны, квадрат расстояния между автомобилями равен сумме квадратов этих расстояний. В начальный момент он равен 640² + 600².

Приравняем расстояния в квадрате и раскроем скобки:

(640 − 833⅓t)² + (600 − 1166⅔t)² = 640² + 600².

После сокращения начальных квадратов получаем t(2 466 666⅔t − 2 466 666⅔) = 0. Корень t = 0 соответствует начальному моменту. Второй корень: t = 1 мин.

Через минуту автомобили окажутся у перекрёстка одновременно, поэтому расстояние между ними снова будет равно начальному расстоянию между ними.

Ответ: через 1 минуту.