№5. Графически решите уравнение: \(\frac{12}{x} = 7 - x\)

Для решения уравнения графически, нам нужно построить графики двух функций:

1. Первая функция: y = \frac{12}{x}

• Это гипербола, которая располагается в первой и третьей четвертях.
• Важные точки: (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1) и отрицательные значения: (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4), (-4, -3), (-6, -2), (-12, -1).

2. Вторая функция: y = 7 - x

• Это линейная функция (прямая линия).
• Чтобы построить прямую, достаточно двух точек. Например:
• Если x = 0, то y = 7 - 0 = 7. Точка (0, 7).
• Если y = 0, то 0 = 7 - x, следовательно x = 7. Точка (7, 0).
• Можно взять еще одну точку: если x = 3, то y = 7 - 3 = 4. Точка (3, 4).

3. Построение графиков:

На координатной плоскости строим гиперболу y = \frac{12}{x} и прямую y = 7 - x.

4. Поиск точек пересечения:

Точки, в которых графики пересекаются, являются решениями уравнения.

При визуальном построении или анализе таблицы значений можно увидеть, что графики пересекаются в двух точках:

• Примерно при x = 1.5, y = 5.5 (для прямой). Для гиперболы 12 / 1.5 = 8. Не совпадает.
• Примерно при x = 3, y = 4. Для гиперболы 12 / 3 = 4. Совпадает!
• Примерно при x = 4, y = 3. Для гиперболы 12 / 4 = 3. Совпадает!

5. Аналитическая проверка:

Чтобы точно определить точки пересечения, решим уравнение:

\frac{12}{x} = 7 - x

Умножим обе части на x (при условии, что x
eq 0):

12 = x(7 - x)

12 = 7x - x^2

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

x^2 - 7x + 12 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \times 1 \times 12 = 49 - 48 = 1

\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1

Найдем корни:

x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 1}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3

x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 1}{2 \times 1} = \frac{8}{2} = 4

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x_1 = 3: y = 7 - 3 = 4 (или y = 12 / 3 = 4)

Для x_2 = 4: y = 7 - 4 = 3 (или y = 12 / 4 = 3)

Графически мы видим, что прямая и гипербола пересекаются в точках (3; 4) и (4; 3).

Ответ: x = 3, x = 4.